A tiszta hangzatoknak érdekes matematikája van, amellyel sokat foglalkozott Bolyai János és apja, Bolyai Farkas is.

• Egy vonós hangszeren (legjobb most erre a célra a cselló, mert lényegesen nagyobb a hegedűnél) végezzünk el vizsgálatokat és méréseket.

1. Mérjük meg mm pontossággal az egyik húr teljes hosszát (nyilván csak a két alátámasztási pont közötti részt).

2. A hangszer tulajdonosa játsszon ugyanazon a húron egy oktávval magasabb hangot, s krétával jelöljük be a fogólapon, hogy hol fogta le ehhez a húrt.

3. Utána játsszon az eredeti (alap)hanghoz képest egy kvinttel magasabbat. (Pl. a G-húron D-t, vagy az A-húron E-t.) Ezt a pontot is jelöljük be.

4. Végül játsszon egy kvarttal magasabb hangot (G-húron C-t, A-húron D-t) és ezt a pontot is jelöljük meg krétával.

5. Mérjük meg a húr rezgő részének hosszát az oktáv, a kvint és a kvart esetében is.

6. Számoljuk ki, hogy az oktávval, kvinttel, illetve kvarttal magasabb hang húrhossza hogyan aránylik a teljes húrhosszhoz.

7. Fejezzük ki ezeket az arányokat természetes egész számokkal.

Az eredmény azt mutatja, hogy a tiszta hangzatok (hangközök) húrhosszai egyszerű egész számok arányával is kifejezhetők. Most jön a dolog neheze!

Aki ért a zenéhez, az tudja, hogy az alaphanghoz képesti kvart és kvint egymástól éppen egy egész hang távolságra van. Pl. C alaphang esetében az F (kvart) és a G (kvint) távolsága egész hang. Ennek alapján ki lehet számolni, hogy elvileg milyen húr-hossz arány fejezi ki az egész hang különbségét.

• Számoljuk ki az egész hang különbségre jellemző arányt!

Egy oktáv (ez a zongorán jól látható és követhető) éppen 6 egész hangközt foglal magába. (Mondhatjuk a megszokott skálákhoz igazodva úgy is, hogy 5 egész és 2 fél-hangközt.)

• Számoljuk ki ennek birtokában, hogy hat egész hang egymásutánja (vagyis egy oktáv) összesen milyen húrhossz-arányt jelent!
• És most vessük össze a kapott eredményt azzal, amit a vonós hangszeren (a csellón) mértünk az oktáv esetében.

Ezzel eljutottunk a zongora hangolásának nagy problémájához. Aki erről többet szeretne tudni, az nézzen utána, mi az ún. „temperálás”.